_______Измерения в геодезии рассматриваются с двух точек зрения: количественной, выражающей числовое значение измеренной величины, и качественной, характеризующей ее точность. Из практики известно, что даже при самой тщательной и аккуратной работе многократные (повторные) измерения не дают одинаковых результатов. Это указывает на то, что получаемые результаты не являются точным значением измеряемой величины, а несколько отклоняются от него. Значение отклонения характеризует точность измерений.
_______При геодезических измерениях неизбежны ошибки. Эти ошибки бывают грубые, систематические и случайные.
_______ К грубым ошибкам относятся просчеты в измерениях по причине невнимательности наблюдателя или неисправности прибора, и они полностью должны быть исключены. Это достигается путем повторного измерения.
_______Систематические ошибки происходят от известного источника, имеют определенный знак и величину и их можно учесть при измерениях и вычислениях.
_______Случайные ошибки обусловлены разными причинами и полностью исключить их из измерений нельзя. Поэтому возникают две задачи: как из результатов измерений получить наиболее точную величину и как оценить точность полученных результатов измерений. Эти задачи решаются с помощью теории ошибок измерений _______
_______В основу теории ошибок положены следующие свойства случайных ошибок:
_______1. Малые ошибки встречаются чаще, а большие реже.
_______2. Ошибки не превышают известного предела.
_______3. Положительные и отрицательные ошибки, одинаковые по абсолютной величине,
одинаково часто встречаются.
_______4. Сумма ошибок, деленная на число измерений, стремится к нулю при большом числе
измерений.
_______По источнику происхождения различают ошибки приборов, внешние и личные. Ошибки приборов обусловлены их несовершенством, например погрешность угла, измеренного теодолитом, неточным приведением в вертикальное положение оси его вращения.
_______Внешние ошибки происходят из-за влияния внешней среды, в которой протекают измерения, например погрешность в отсчете по нивелирной рейке из-за изменения температуры воздуха на пути светового луча (рефракция) или нагрева нивелира солнечными лучами.
_______Личные ошибки связаны с особенностями наблюдателя, например, разные наблюдатели по-разному наводят зрительную трубу на визирную цель. Так как грубые погрешности должны быть исключены из результатов измерений, а систематические исключены или ослаблены до минимально допустимого предела, то проектирование измерений с необходимой точностью и оценку результатов выполненных измерений производят, основываясь на свойствах случайных погрешностей.
_______Если одна величина измерена n раз и получены результаты: l1, l2, l3, l4, l5, l6,….., ln, то
|
_______Величина x называется арифметической серединой или вероятнейшим значением измеренной величины. Разности между каждым измерением и арифметической срединой называют вероятнейшими ошибками измерений:
|
_______Или в общем виде получим:
[ l ] – n x x = [v] (3)
_______Тогда
_______Точность результатов измерений оценивается средней квадратической ошибкой. Средняя квадратическая ошибка одного измерения вычисляется по формуле:
|
где [v2] – сумма квадратов вероятнейших ошибок; n – число измерений. Средняя квадратическая ошибка арифметической середины вычисляется по формуле:
|
_______Предельная ошибка не должна превышать утроенной средней квадратической ошибки, т.е. ε = 3 x m.
_______Иногда о точности измерений судят не по абсолютной величине средней квадратической или предельной погрешности, а по величине относительной ошибки. ___
_______Относительной ошибкой называется отношение абсолютной ошибки к значению самой измеренной величины. Относительную ошибку выражают в виде простой дроби, числитель которой — единица, а знаменатель — число, округленное до двух-трех значащих цифр с нулями. Например, относительная средняя квадратическая погрешность измерения линии длиной:
_______l = 110 м, при m = 2 см, равна m/l = 1/5500.
_______Пример:
_______Линия измерена шесть раз. Определить ее вероятнейшую длину и оценить точность этого результата. Вычисления приведены в таблице:
|
_______По формулам вычислены абсолютные средние квадратические ошибки, а оценивать точность измерения длины линии необходимо по относительной ошибке. Поэтому нужно абсолютную ошибку разделить на длину линии. Для нашего примера относительная ошибка вероятнейшего значения измеренной линии равна
|
_______Точность результатов многократных измерений одной и той же величины оценивают в такой последовательности:
_______1. Находят вероятнейшее (наиболее точное для данных условий) значение
измеренной величины по формуле арифметической середины х = [l]/n.
_______2. Вычисляют отклонения для каждого значения измеренной величины от
значения арифметической средины. Контроль вычислений: [v] = 0;
_______3. По формуле вычисляют среднюю квадратическую ошибку одного измерения.
_______4. По формуле вычисляют среднюю квадратическую ошибку арифметической
средины.
_______5. Если измеряют линейную величину, то подсчитывают относительную
среднюю квадратическую ошибку каждого измерения и арифметической
средины.
_______6. При необходимости подсчитывают предельную ошибку одного измерения, которая может служить допустимым значением погрешностей аналогичных измерений.
_______Неравноточными измерениями называются такие, которые выполнены различным числом приемов, приборами различной точности и т.д. Если измерения неодинаковой точности, то для определения общей арифметической середины пользуются формулой:
|
где p1, p2, p3, ……..pn - соответствующие веса неравноточных измерений l1, l2, l3,……. l n
________Весом называется число, которое выражает степень доверия к результату измерения. В тех случаях, когда неизвестны веса измеренных величин, а известны их средние квадратические ошибки, то веса можно вычислить по формуле:
|
_______При неравноточных измерениях средняя квадратическая ошибка измерения, вес которого равен единице, определяется по формуле:
|
где δ – разность между отдельными результатами измерений и общей арифметической серединой.